تبدیل فوریه به زبان ساده
مقدمه‌ای بر تبدیل فوریه
هر چیزی که به صورت تابعی از زمان، مکان و یا متغیرهای دیگر باشد را می‌توان با استفاده از یک شکل موج مورد مطالعه قرار داد. برای مثال می‌توان به امواج صوتی و میدان‌های مغناطیسی اشاره کرد. همچنین ارتفاع یک تپه بر حسب موقعیت و موجودی انبار شما را نیز می‌توان به صورت یک شکل موج نمایش داد. تبدیل فوریه به ما ابزار قدرتمندی برای بررسی این شکل موج‌ها ارائه می‌دهد.
تبدیل فوریه، کاربرد بسیار زیادی در ریاضیات، مهندسی و علم فیزیک دارد. یکی از شاخه‌های تبدیل فوریه، «تبدیل فوریه گسسته» (Discrete Fourier Transform) است که به صورت اختصاری با نماد DFT نمایش داده می‌شود. این عملگر به صورت رایج با استفاده از «تبدیل فوریه سریع» (Fast Fourier Transform) قابل محاسبه است. تبدیل فوریه سریع به صورت اختصاری با نماد FFT نمایش داده می‌شود. پیدایش مفهوم FFT باعث پیشرفت بسیار زیاد در علم الکترونیک و مهندسی برق نیز شده است.
تبدیل فوریه یک تابع با نماد (f(x که می‌تواند شامل اعداد حقیقی و مختلط باشد را با نماد (F(s نمایش می‌دهند، که یک فرایند برگشت پذیر است. توجه کنید که در اینجا حاصل ضرب x و s عبارتی بی‌بعد خواهد بود و به طور معمول x زمان در نظر گرفته می‌شود (بنابراین تابع f، نشان دهنده سیگنال در حوزه زمان است) و s معکوس زمان و یا فرکانس (در این حالت F نشان دهنده سیگنال در حوزه فرکانس است) را نشان می‌دهد.
تبدیل فوریه تابع (f(x با استفاده از رابطه زیر تعریف می‌شود:
همانطور که اشاره شد تبدیل فوریه یک فرایند برگشت پذیر است، بنابراین در صورتی که تبدیل فوریه یک تابع را داشته باشیم و خود تابع مجهول باشد، از رابطه زیر برای محاسبه تابع مجهول می‌توان استفاده کرد. این رابطه به تبدیل فوریه معکوس معروف است.
در عبارت بالا i با استفاده از رابطه زیر تعریف می‌شود.
عبارت نمایی مختلط موجود در تبدیل فوریه، مهم‌ترین بخش تبدیل فوریه است. این عبارت عدد مختلطی را نشان می‌دهد که قسمت حقیقی و موهومی آن، یک تابع نوسانی است و با استفاده از «فرمول اویلر» (Euler’s Formula) به شکل زیر نمایش داده می‌شود.
رابطه 4 
انجام محاسبات با استفاده از توابع مختلط نمایی، بسیار راحت تر از انجام محاسبات روی توابع مثلثاتی است. نکته دیگر این است که نمایش توابع نمایی بسیار کوتاه‌تر و ساده‌تر از توابع مثلثاتی به نظر می‌رسد و بیان عبارت تبدیل فوریه با استفاده از آن، به ساده‌ترین شکل ممکن انجام شده است.
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
دیدگاهتان را بنویسید